Gli anagrammi in calcolo combinatorio

di Gabriele Marino (2^D)

Il termine combinatoria indica il settore della matematica che studia insiemi finiti di oggetti semplici (interi, stringhe, nodi e collegamenti, punti e linee, configurazioni discrete, insiemi finiti, ecc) che soddisfano determinate proprietà.

Lo scopo di quest’articolo è sia di divulgare, (a chi non ha la fortuna di conoscerle),le caratteristiche della combinatoria, sia di presentare un metodo di problemsolving molto più semplice di quello fornito dai libri di testo che trattano l’argomento suddividendolo negli approcci permutativi, combinativi e dispositivi, e fornendo numerose ed eccessive formule.

Il metodo che introdurrò consiste nell’associare i problemi di combinatoria, nei quali è richiesto di contare gli elementi di un determinato insieme, al concetto degli anagrammi, che come è noto, sono tutte le parole, anche senza senso, che si formano invertendo l’ordine delle lettere di una data parola. Ad esempio, alcuni anagrammi di casa, sono “aacs” e “acas”.

Facendo lo sforzo di ‘imparare a memoria’ un’unica formula,(di cui non darò una dimostrazione),è possibile risolvere agevolmente tutti i problemi della combinatoria riguardanti permutazioni e combinazioni, evitando (con un po’ di ragionamento) di imparare quattro o cinque formule diverse e molto più complesse.

Questa formula “aurea” riguarda appunto il numero di anagrammi di una parola di n lettere totali con lettere diverse Li, ciascuna delle quali si ripete kivolte (quindi k1+ k2+  …+ km=n).

Ebbene il numero di anagrammi di questa parola è dato da:n! / (k1! · k2!· … · km!). Ad esempio, il numero di anagrammi della parola ape è dato da 3! / (1! · 1! · 1!) = 6; allo stesso modo, il numero di anagrammi della parola casa è dato da 4! / (1! · 1! · 2!) = 12. Questo perché la parola ape è composta da 3 lettere totali e in particolare dalle lettere ‘a’, ‘p’, ‘e’, che si ripetono ciascuna 1 volta. Similmente,la parola casa è composta da 4 lettere totali e in particolare dalle lettere ‘c’, ‘s’, che si ripetono 1 volta, e dalla lettera ‘a’, che si ripete 2 volte.

La nostra formula, come avrete notato, si può applicare anche per le parole composte da n lettere tra loro tutte diverse, per cui il numero degli anagrammi diventa n!.

Proviamo ad esempio a considerare di voler contare il numero di diversi modi in cui si possono mettere in fila le età di 7 ragazzi diversi. Facilissimo! Facciamo corrispondere ad ogni ragazzo diverso una lettera, dalla ‘a’ alla ‘g’, e contiamo gli anagrammi della parola ‘abcdefg’, che risulteranno 7!. Se tra i 7 ragazzi considerati ci fossero stati due gemelli (che hanno la stessa età), allora avremmo considerato gli anagrammi della parola ‘aabcdef’, attribuendo a entrambi i gemelli l’età corrispondente alla lettera a, e arrivando a contare 7! / 2! anagrammi. Questi due problemi sono un esempio di problemi di permutazione. Invece, per quanto riguarda le combinazioni, possiamo considerare gli esempi seguenti.

Si consideri una classe di 25 alunni, e un’interrogazione che interessi un gruppo di 4 persone. Si vogliono contare le diverse possibilità di scelta del professore. In questo caso, che potrebbe sembrare difficile da ricondurre alla formula precedentemente illustrata, basta in verità accorgersi del fatto che esiste una corrispondenza biunivoca tra le possibilità del professore e gli anagrammi di una parola che conta 4 lettere ‘a’, rappresentanti le quattro scelte, e 21 lettere ‘b’, rappresentanti i “graziati”. Per esempio, l’anagramma che presenta le lettere ‘a’ al 1°,4°,6° e 19° posto è in corrispondenza con l’interrogazione degli alunni che si trovano in ordine sul registro al 1°,4°,6° e 19° posto. Insomma, avete capito che la soluzione del quesito sta nel trovare il numero di diversi anagrammi di una parola che conta 4 lettere ‘a’ e 21 lettere ‘b’, ovvero 25! / (4! · 21!).

Si pensi ora, di voler distribuire 8 caramelle a 3 bambini, e di voler trovare quale è il numero di possibili combinazioni (anche ingiuste!). Per risolvere questo problema, meno intuitivo, si pensi di cominciare a distribuire le caramelle al primo bambino, e: – tutte le volte che si distribuisce una caramella si aggiunge ad un’ipotetica parola da anagrammare la lettera ‘a’ (azione che deve essere compiuta 8 volte);                                                                                                      – tutte le volte che si passa al bambino successivo si aggiunge invece le lettera ‘b’ (azione che deve essere compiuta 2 volte).                             Ci si accorge così che esiste una corrispondenza biunivoca tra il numero di anagrammi di una parola composta da 8 ‘a’ e 2 ‘b’, e il numero di possibili combinazioni cercato. Ad esempio, l’anagramma ‘aaabaabaaa’ rappresenta una distribuzione di 3, 2 e 3 caramelle ai tre ragazzi. La soluzione del quesito è quindi 10! / (2! · 8!).

E se le caramelle fossero state al più 8? Anche questo problema potrebbe sembrare difficile da ricondurre alla nostra formula aurea, ma invece basta pensare al fatto che, se le caramelle fossero state al più 8, quelle non distribuite sarebbero rimaste al distributore, e quindi ad una 4° persona. In questo caso, quindi, la parola sarebbe dovuta essere composta da 3 ‘b’ anziché 2, poiché l’azione di ‘passare al prossimo’ si sarebbe dovuta effettuare 3 volte, e non più 2. La soluzione segue immediatamente: coincide con il numero di anagrammi di una parola composta da 8 lettere ‘a’ e 3 lettere ‘b’, ovvero 11! / (8! · 3!).

Gabriele Marino 2^D

 

 

 

 

 

 

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